Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função , identificar onde ela tem extremos locais (ou seja, máximos e mínimos) e descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos são aqueles valores de onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Então, vamos começar encontrando a derivada da função .

Passo 3

A função dada é . Para derivar, aplicamos a regra da potência. A derivada de em relação a é:
Então, a derivada da função fica:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe.
Isso nunca ocorre porque multiplicado por qualquer número nunca será zero. Então, não temos pontos onde a derivada é zero.

Passo 5

Vamos então verificar onde a derivada não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando não está definida. Isso acontece quando , ou seja, .

Passo 6

Então, temos um único ponto crítico em . Agora, vamos verificar se esse ponto é um extremo local. Para isso, vamos analisar o comportamento da função nos arredores de .

Passo 7

Vamos escolher valores de menores e maiores que 4 para ver se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
  • Se , digamos :
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
  • Se , digamos :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 8

Como a função muda de crescente para decrescente em e temos um ponto crítico lá, isso indica que é um ponto de máximo local.

Resposta

  • Ponto crítico:
  • Extremo local: Máximo local em
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento:

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Encontre dois números positivos e cujo produto é 6 tais que minimizem a soma .
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.
O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que e são constantes e é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto .