Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
, identificar onde ela tem extremos locais (ou seja, máximos e mínimos) e descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos são aqueles valores de
onde a derivada da função
é igual a zero ou onde a derivada não existe. Então, vamos começar encontrando a derivada da função
.
Passo 3
A função dada é
. Para derivar, aplicamos a regra da potência. A derivada de
em relação a
é:
Então, a derivada da função
fica:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe.
Isso nunca ocorre porque
multiplicado por qualquer número nunca será zero. Então, não temos pontos onde a derivada é zero.
Passo 5
Vamos então verificar onde a derivada não existe. A derivada
não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
não está definida. Isso acontece quando
, ou seja,
.
Passo 6
Então, temos um único ponto crítico em
. Agora, vamos verificar se esse ponto é um extremo local. Para isso, vamos analisar o comportamento da função nos arredores de
.
Passo 7
Vamos escolher valores de
menores e maiores que 4 para ver se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
-
Se
, digamos : A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo. -
Se
, digamos : A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 8
Como a função muda de crescente para decrescente em
e temos um ponto crítico lá, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Resposta
- Ponto crítico:
- Extremo local: Máximo local em
- Intervalos de crescimento:
-
- Intervalos de decrescimento:
-
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e
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.
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.
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e
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.