O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que
e
são constantes e
é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem uma função que descreve como duas moléculas interagem num gás não-ideal, chamada de Potencial de Lennard-Jones. A função é:
Aqui,
e
são constantes positivas, e
é a distância entre as duas moléculas. Nosso objetivo é mostrar que esse potencial tem um ponto mínimo quando
. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a inclinação da função é zero (que pode indicar um mínimo).
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
em relação a
para achar os pontos onde a derivada é zero. A ideia é que nesses pontos a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A derivada de
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver
para encontrar os pontos críticos. Isso significa que:
Podemos fatorar 6:
Dividindo ambos os lados por 6:
Passo 4
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que não é zero):
Então:
Passo 5
Agora, tirando a raiz sexta de ambos os lados:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 6
Pronto! Encontramos que a derivada de
é zero quando
. Para confirmar que esse ponto é realmente um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar o comportamento da função, mas o enunciado pede apenas para mostrar que há um mínimo local nesse ponto.
Resposta
O potencial de Lennard-Jones tem um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Usando a fórmula para
e a identidade
, faça a substituição
para mostrar que
e
Se
, qual é o valor de
?