O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que e são constantes e é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem uma função que descreve como duas moléculas interagem num gás não-ideal, chamada de Potencial de Lennard-Jones. A função é:
Aqui, e são constantes positivas, e é a distância entre as duas moléculas. Nosso objetivo é mostrar que esse potencial tem um ponto mínimo quando . Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a inclinação da função é zero (que pode indicar um mínimo).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função em relação a para achar os pontos onde a derivada é zero. A ideia é que nesses pontos a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
A derivada de é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os pontos críticos. Isso significa que:
Podemos fatorar 6:
Dividindo ambos os lados por 6:

Passo 4

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que não é zero):
Então:

Passo 5

Agora, tirando a raiz sexta de ambos os lados:
Invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 6

Pronto! Encontramos que a derivada de é zero quando . Para confirmar que esse ponto é realmente um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar o comportamento da função, mas o enunciado pede apenas para mostrar que há um mínimo local nesse ponto.

Resposta

O potencial de Lennard-Jones tem um mínimo local no ponto .

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Usando a fórmula para e a identidade , faça a substituição para mostrar que
e
Se , qual é o valor de ?