Usando a fórmula para cos(2y) e a identidade sen^2 x + cos^2 x = 1, faça a substituição y = x / 2 para mostrar que
sen^2(x/2) = (1 - cos(x)) / 2 e cos²(x/2) = (1 + cos(x)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente vai trabalhar com fórmulas de ângulos duplos e a identidade trigonométrica básica que relaciona o seno e o cosseno. Precisamos usar a fórmula para e a identidade . Vamos também substituir y por para chegar nas expressões que a gente quer mostrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do cosseno do dobro do ângulo. Ela tem duas formas, mas vamos usar uma delas que vai nos ajudar a encontrar . A fórmula é:
Essa fórmula relaciona o cosseno de um ângulo duplo com o seno do ângulo original.

Passo 3

Agora, queremos expressar . Para isso, vamos fazer a substituição . Substituindo na fórmula que a gente lembrou:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação acima. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então, dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma expressão semelhante para . Vamos usar a mesma fórmula do cosseno do dobro, mas dessa vez, vamos manipular a outra forma da identidade.
Lembrando que:
Substituindo :

Passo 6

Vamos isolar na equação acima. Primeiro, somamos 1 em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

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