Usando a fórmula para
e a identidade
, faça a substituição
para mostrar que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente vai trabalhar com fórmulas de ângulos duplos e a identidade trigonométrica básica que relaciona o seno e o cosseno. Precisamos usar a fórmula para
e a identidade
. Vamos também substituir
por
para chegar nas expressões que a gente quer mostrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do cosseno do dobro do ângulo. Ela tem duas formas, mas vamos usar uma delas que vai nos ajudar a encontrar
. A fórmula é:
Essa fórmula relaciona o cosseno de um ângulo duplo com o seno do ângulo original.
Passo 3
Agora, queremos expressar
. Para isso, vamos fazer a substituição
. Substituindo na fórmula que a gente lembrou:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação acima. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então, dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma expressão semelhante para
. Vamos usar a mesma fórmula do cosseno do dobro, mas dessa vez, vamos manipular a outra forma da identidade.
Lembrando que:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos isolar
na equação acima. Primeiro, somamos 1 em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Exercícios relacionados
O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que
e
são constantes e
é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto
.
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.
Se
, qual é o valor de
?