Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências
. Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem. Vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta legal para achar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz até onde o valor de
faz a série convergir. Para achar isso, geralmente usamos o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite
, onde
são os coeficientes da série.
Passo 3
No nosso caso, os coeficientes são
. Então, vamos aplicar o Teste da Raiz:
Isso acontece porque
tende para
quando
vai para o infinito, mas a raiz
-ésima de
é 1.
Passo 4
Agora que temos
, o Raio de Convergência
é dado por:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 5
Com o raio de convergência
, isso significa que a série converge para todos os valores de
que satisfazem
. Ou seja, para qualquer
no intervalo
, a série vai convergir.
Resposta
O raio de convergência da série é 1, e ela converge para todos os valores de
tais que
.
Exercícios relacionados
Considere a EDO
. Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO dada.
Resolva os exercícios abaixo pelo método de separação de variáveis.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
c.
c.