Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de x a série converge?
b. sumn=0^infty(1+1n)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências . Isso envolve entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem. Vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta legal para achar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz até onde o valor de faz a série convergir. Para achar isso, geralmente usamos o Teste da Raiz, que envolve calcular o limite , onde são os coeficientes da série.

Passo 3

No nosso caso, os coeficientes são L = limn to infty raiz[n](1+1n)^n = limn to infty (1+1n) = 1 . Então, vamos aplicar o Teste da Raiz:
Isso acontece porque tende para quando vai para o infinito, mas a raiz -ésima de é 1.

Passo 4

Agora que temos R = 1L = 11 = 1 , o Raio de Convergência é dado por:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 5

Com o raio de convergência , isso significa que a série converge para todos os valores de que satisfazem . Ou seja, para qualquer no intervalo , a série vai convergir.

Resposta

O raio de convergência da série é 1, e ela converge para todos os valores de tais que .

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Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de x a série converge?
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