Considere a EDO
. Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO dada.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. A tarefa é verificar se a função implícita
é uma solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como aplicar a derivada em funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, como a função está dada de forma implícita, ou seja,
, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
, temos:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
, já que
é uma função de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão de
com a EDO dada, que é
. Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões de
devem ser iguais:
Isso implica que:
Mas, olhando para a equação original
, se
, então:
Isso mostra que a igualdade só é válida para valores específicos de
e
, não para todos os pontos na curva.
Resposta
Não, a função implícita
não é uma solução geral da EDO
.