Considere a EDO y' = 2 x. Verifique se a função implícita x^2 + y^2 = 4 é uma solução da EDO dada.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . A tarefa é verificar se a função implícita é uma solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como aplicar a derivada em funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, como a função está dada de forma implícita, ou seja, , precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Diferenciando em relação a , temos:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar , já que é uma função de .

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto, a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão de com a EDO dada, que é . Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões de devem ser iguais:
Isso implica que:
Mas, olhando para a equação original , se , então:
Isso mostra que a igualdade só é válida para valores específicos de e , não para todos os pontos na curva.

Resposta

Não, a função implícita não é uma solução geral da EDO .

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