Considere a EDO
. Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO dada.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. A tarefa é verificar se a função implícita
é uma solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como aplicar a derivada em funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, como a função está dada de forma implícita, ou seja,
, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
, temos:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
, já que
é uma função de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão de
com a EDO dada, que é
. Para que a função implícita seja uma solução da EDO, as duas expressões de
devem ser iguais:
Isso implica que:
Mas, olhando para a equação original
, se
, então:
Isso mostra que a igualdade só é válida para valores específicos de
e
, não para todos os pontos na curva.
Resposta
Não, a função implícita
não é uma solução geral da EDO
.
Exercícios relacionados
Resolva os exercícios abaixo pelo método de separação de variáveis.
Um tanque de 4001 contém água salgada em uma densidade de
por litro, e um outro tanque contém 2001 de água doce. Existe um processo de drenagem que envia água do primeiro tanque ao segundo a uma taxa de
s. Modele a concentração de sal na água do tanque de água doce ao longo do tempo.
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
b.
b.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.