Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de x a série converge?
c. sumn=0^infty, 1n! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência da série de potências e para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como determinar seu raio de convergência usando, por exemplo, o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=0^infty 1n! x^2n
Podemos observar que é uma série em termos de , o que significa que estamos lidando com potências pares de .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar onde uma série de potências converge. O teste nos diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série, temos:
an = 1n! x^2n
Então,
an+1 = 1(n+1)! x^2(n+1) = 1(n+1)! x^2n + 2
Agora, calculamos a razão:
an+1an = 1(n+1)! x^2n + 21n! x^2n = n!(n+1)! cdot x^2 = 1n+1 cdot x^2

Passo 5

Vamos agora calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty | 1n+1 cdot x^2 | = limn to infty |x|^2n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como , que é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, . Portanto, a série converge para todos os valores de .

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