Resolva os exercícios abaixo pelo método de separação de variáveis. y ln x d y/d x = (y + 1)/x^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como isolar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e . Podemos começar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 6

Integramos ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Fazendo uma substituição , temos e :

Passo 8

Agora, resolvemos a integral do lado direito. Fazendo a substituição , :
Mas isso está incorreto. Vamos tentar outra abordagem. Observe que:
Fazendo a substituição , , então . Porém, isso não simplifica a integral facilmente. Vamos usar uma tabela de integrais ou métodos avançados para resolver:
A integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, então deixamos como integral definida.

Passo 9

Igualando as integrais:
çã
Como a integral do lado direito não é expressável em termos de funções elementares, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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