Resolva os exercícios abaixo pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Podemos começar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Fazendo uma substituição
, temos
e
:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral do lado direito. Fazendo a substituição
,
:
Mas isso está incorreto. Vamos tentar outra abordagem. Observe que:
Fazendo a substituição
,
, então
. Porém, isso não simplifica a integral facilmente. Vamos usar uma tabela de integrais ou métodos avançados para resolver:
A integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, então deixamos como integral definida.
Passo 9
Igualando as integrais:
Como a integral do lado direito não é expressável em termos de funções elementares, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Um tanque de 4001 contém água salgada em uma densidade de
por litro, e um outro tanque contém 2001 de água doce. Existe um processo de drenagem que envia água do primeiro tanque ao segundo a uma taxa de
s. Modele a concentração de sal na água do tanque de água doce ao longo do tempo.
Modele a taxa de crescimento de uma população de coelhos em uma ilha sem predadores, sabendo que a taxa de crescimento dessa população no momento
é igual a
do total da população no momento
.
Considere a EDO
. Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO dada.
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
b.
b.