Para a EDO y' = e^(-x) com a condição inicial y(0) = 2, verifique se a função y(x) = 2 - e^(-x) é solução do PVI dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é e uma condição inicial que diz que quando , . Nosso objetivo aqui é verificar se a função resolve essa EDO com a condição inicial dada. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas se relacionam com as equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar se uma função é solução de uma EDO com uma condição inicial. Basicamente, temos que:
  1. Verificar se a função satisfaz a EDO: Isso quer dizer que, ao calcularmos a derivada de e substituirmos na equação , a igualdade deve se manter.
  2. Verificar se a função satisfaz a condição inicial: Ou seja, ao substituirmos na função , o resultado deve ser 2.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função satisfaz a EDO . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a .
A derivada de é:
Então, temos que , que é exatamente o lado direito da nossa EDO. Isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição inicial . Substituindo na função :
Ué, deu 1! Mas a condição inicial pede que . Isso significa que a função não satisfaz a condição inicial dada.

Passo 5

Parece que houve um detalhe importante na verificação da condição inicial. Vamos reavaliar. Talvez tenhamos cometido um erro na substituição.
Substituindo novamente :
Confirmei e, de fato, , o que não coincide com . Portanto, a função não atende à condição inicial.

Resposta

Não, a função resolve a equação diferencial , mas não satisfaz a condição inicial . Portanto, ela não é solução do PVI dado.

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