Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de a série converge?
f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o raio de convergência da série de potências dada e descobrir para quais valores de a série converge. Isso está no campo do Cálculo de Séries, especificamente trabalhando com séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação dos testes. A série é:
Aqui, e . Vamos usar o Teste da Raiz, que é eficiente para este tipo de série.
Passo 3
O Teste da Raiz diz que para encontrar o raio de convergência , calculamos:
Se esse limite for , então o raio de convergência é .
Passo 4
Aplicando isso na nossa série:
Sabemos que limn to infty 1n^1/n = 11 = 1 , então:
Passo 5
Com isso, o raio de convergência R = 11 = 1 é:
Isso significa que a série converge quando .
Resposta
O raio de convergência da série é . Portanto, a série converge para todos os valores de que satisfazem .