Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de x a série converge?
f. sumn=1^infty 1n(x-x0)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o raio de convergência da série de potências dada e descobrir para quais valores de a série converge. Isso está no campo do Cálculo de Séries, especificamente trabalhando com séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que nos ajudam a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação dos testes. A série é:
sumn=1^infty 1n (x - x0)^n
Aqui, e . Vamos usar o Teste da Raiz, que é eficiente para este tipo de série.

Passo 3

O Teste da Raiz diz que para encontrar o raio de convergência limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
Se esse limite for , então o raio de convergência é .

Passo 4

Aplicando isso na nossa série:
limn to infty raiz[n]|1n| = limn to infty 1n^1/n
Sabemos que limn to infty 1n^1/n = 11 = 1 , então:

Passo 5

Com isso, o raio de convergência R = 11 = 1 é:
Isso significa que a série converge quando .

Resposta

O raio de convergência da série é . Portanto, a série converge para todos os valores de que satisfazem .

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