O número de ratos do campo em uma determinada pastagem é dado pela função
, onde
é medido em anos. Determine uma equação diferencial que governe uma população de corujas que se alimentam dos rato se a taxa segundo a qual cresce a população de corujas for proporcional a diferença entre ratos e corujas no momento t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o número de ratos em uma pastagem é dado por
, onde
é o tempo em anos. A gente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva como a população de corujas cresce. A ideia é que o crescimento das corujas dependa da diferença entre a quantidade de ratos e corujas no mesmo momento. Para isso, vamos usar conceitos de modelagem de populações e proporcionalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Sabemos que o número de ratos no tempo
é dado por:
Aqui,
representa a quantidade de ratos na pastagem em qualquer instante
.
Passo 3
Vamos chamar a população de corujas de
, onde
também depende do tempo
. Nosso objetivo é encontrar uma equação para
.
Passo 4
Segundo o enunciado, a taxa de crescimento da população de corujas é proporcional à diferença entre o número de ratos e corujas no mesmo instante. Em termos matemáticos, isso pode ser escrito como:
Onde:
-
é a taxa de variação da população de corujas. -
é a constante de proporcionalidade. -
representa a diferença entre ratos e corujas.
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de
na equação diferencial:
Essa é a equação diferencial que descreve como a população de corujas evolui ao longo do tempo, levando em conta a quantidade de ratos disponíveis.
Resposta
A equação diferencial que governa a população de corujas é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
f.
f.
Para a
com a condição inicial
, verifique se a função
é solução do PVI dado.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.