O número de ratos do campo em uma determinada pastagem é dado pela função 200 - 10 t, onde t é medido em anos. Determine uma equação diferencial que governe uma população de corujas que se alimentam dos rato se a taxa segundo a qual cresce a população de corujas for proporcional a diferença entre ratos e corujas no momento t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o número de ratos em uma pastagem é dado por , onde é o tempo em anos. A gente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva como a população de corujas cresce. A ideia é que o crescimento das corujas dependa da diferença entre a quantidade de ratos e corujas no mesmo momento. Para isso, vamos usar conceitos de modelagem de populações e proporcionalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Sabemos que o número de ratos no tempo é dado por:
Aqui, representa a quantidade de ratos na pastagem em qualquer instante .

Passo 3

Vamos chamar a população de corujas de , onde também depende do tempo . Nosso objetivo é encontrar uma equação para .

Passo 4

Segundo o enunciado, a taxa de crescimento da população de corujas é proporcional à diferença entre o número de ratos e corujas no mesmo instante. Em termos matemáticos, isso pode ser escrito como:
Onde:
  • é a taxa de variação da população de corujas.
  • é a constante de proporcionalidade.
  • representa a diferença entre ratos e corujas.

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de na equação diferencial:
Essa é a equação diferencial que descreve como a população de corujas evolui ao longo do tempo, levando em conta a quantidade de ratos disponíveis.

Resposta

A equação diferencial que governa a população de corujas é:

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