Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de x a série converge?
e. sumn=1^infty 1n^2(2 x+1)^n

Passo 1

Estamos com uma série de potências que precisamos analisar para descobrir o raio de convergência e para quais valores de a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta muito útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Vamos começar identificando a expressão geral da série:
sumn=1^infty 1n^2(2x + 1)^n
Aqui, o termo geral é .

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, precisamos calcular o limite da razão entre o termo L = limn to infty | an+1an | e o termo quando tende ao infinito:

Passo 4

Vamos calcular essa razão:
an+1an = 1(n+1)^2(2x + 1)^n+11n^2(2x + 1)^n = n^2(n+1)^2(2x + 1)

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | n^2(n+1)^2(2x + 1) | = |2x + 1| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |2x + 1| cdot 1 = |2x + 1| tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |2x + 1| < 1 . Portanto:

Passo 7

Resolvendo a inequação:
-1 < 2x + 1 < 1 -2 < 2x < 0 -1 < x < 0

Resposta

O raio de convergência é , e a série converge para os valores de no intervalo .

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