Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando uma série de potências. O problema nos pede para encontrar
que satisfaz a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos representar
como uma série de potências e descobrir os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Para o primeiro termo, substituímos
por
:
Para o segundo termo:
E o terceiro termo já está com
.
Passo 6
Agora, a equação fica:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Passo 9
Com
e
, podemos encontrar os próximos coeficientes:
E assim por diante.
Resposta
A solução em série de potências é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
n.
n.
Considere a EDO
com a condição inicial
. Verifique se a função
satisfaz a EDO e a condição inicial dada.
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
e.
e.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j.
j.