Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
a. y'' - x y' - y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando uma série de potências. O problema nos pede para encontrar que satisfaz a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos representar como uma série de potências e descobrir os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial dada:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de . Para o primeiro termo, substituímos por :
Para o segundo termo:
E o terceiro termo já está com .

Passo 6

Agora, a equação fica:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Para :
Para :

Passo 8

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e :

Passo 9

Com e , podemos encontrar os próximos coeficientes:
E assim por diante.

Resposta

A solução em série de potências é:

Exercícios relacionados