Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j. f(x) = x^2 * sen(x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Taylor e analisar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é .

Passo 3

Sabendo disso, vamos começar encontrando a expansão em série de Taylor da função , que é bem conhecida:

Passo 4

Agora, como a nossa função é , vamos multiplicar cada termo da série de por :

Passo 5

Simplificando o índice dos expoentes de , podemos reescrever a série como:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para todo , ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como multiplicamos por , que é uma função polinomial, o raio de convergência permanece infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados