Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j.
j.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Taylor e analisar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é
.
Passo 3
Sabendo disso, vamos começar encontrando a expansão em série de Taylor da função
, que é bem conhecida:
Passo 4
Agora, como a nossa função é
, vamos multiplicar cada termo da série de
por
:
Passo 5
Simplificando o índice dos expoentes de
, podemos reescrever a série como:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para todo
, ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como multiplicamos por
, que é uma função polinomial, o raio de convergência permanece infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
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e.
e.
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.
a.
a.
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.
p.
p.