Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
p. (2x - x^2) y'' - 6(x - 1) y' - 4y = 0, x0 = 1

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem: , e queremos encontrar soluções usando séries de potências ao redor do ponto . Para isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potências centrada em , calcular suas derivadas e substituir na equação para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar o centro da série. Definimos , assim . Agora, expressamos como uma série de potências em :
Isso nos permite trabalhar com a série ao redor de , que corresponde a .

Passo 3

Calculamos as primeiras e segundas derivadas de :
Vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo na equação, temos:
Simplificando os termos:
Agora, substituímos as séries de , e nessa equação.

Passo 5

Após substituir as séries, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes . Isso envolve reindexar as somas para que todas as séries estejam em termos de e resolver para em função de , , etc.

Resposta

A solução em série de potência da equação diferencial dada em torno de é:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência obtida substituindo a série na equação diferencial.

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