Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
p.
p.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
, e queremos encontrar soluções usando séries de potências ao redor do ponto
. Para isso, vamos precisar expandir a função
em uma série de potências centrada em
, calcular suas derivadas e substituir na equação para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar o centro da série. Definimos
, assim
. Agora, expressamos
como uma série de potências em
:
Isso nos permite trabalhar com a série ao redor de
, que corresponde a
.
Passo 3
Calculamos as primeiras e segundas derivadas de
:
Vamos substituir essas derivadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Simplificando os termos:
Agora, substituímos as séries de
,
e
nessa equação.
Passo 5
Após substituir as séries, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
. Isso envolve reindexar as somas para que todas as séries estejam em termos de
e resolver para
em função de
,
, etc.
Resposta
A solução em série de potência da equação diferencial dada em torno de
é:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência obtida substituindo a série na equação diferencial.
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Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j.
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a série converge?
e.
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. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l.
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