Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
n.
n.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
, e precisamos encontrar soluções usando séries de potências em torno de
. Isso significa que vamos expressar
como uma soma infinita de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar expandir cada termo da equação em séries de potências e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Isso significa que
e
também podem ser representados por séries. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Vamos distribuir
:
Passo 4
Agora, vamos ajustar os índices das somas para termos potências iguais de
. Para a segunda soma, fazemos uma mudança de índice: seja
, então
:
Vamos renomear
de volta para
na segunda soma:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Para que a equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Isso nos permite calcular os coeficientes
em termos de
.
Passo 7
Vamos definir os coeficientes iniciais. Geralmente, escolhemos
e
como constantes arbitrárias (dado que a equação é de segunda ordem):
- Seja
- Seja
Agora, usando a relação de recorrência, podemos calcular:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial em série de potências em torno de
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Considere a EDO
com a condição inicial
. Verifique se a função
satisfaz a EDO e a condição inicial dada.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
a.
a.
Em cada um dos seguintes itens, determine o raio de convergência da série de potencias dada. Para que valores de
a série converge?
e.
e.