Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
n. (x^2 + 1) y'' + x y' - y = 0, x0 = 0

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial: , e precisamos encontrar soluções usando séries de potências em torno de . Isso significa que vamos expressar y como uma soma infinita de potências de x. Para resolver isso, vamos precisar expandir cada termo da equação em séries de potências e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y pode ser escrita como uma série de potências:
Isso significa que e também podem ser representados por séries. Vamos calcular essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir y, e na equação original:
Vamos distribuir :

Passo 4

Agora, vamos ajustar os índices das somas para termos potências iguais de x. Para a segunda soma, fazemos uma mudança de índice: seja , então :
Vamos renomear m de volta para n na segunda soma:

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as somas em uma única soma:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Para que a equação seja igual a zero para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Isso nos permite calcular os coeficientes em termos de .

Passo 7

Vamos definir os coeficientes iniciais. Geralmente, escolhemos e como constantes arbitrárias (dado que a equação é de segunda ordem):
  • Seja
  • Seja
Agora, usando a relação de recorrência, podemos calcular:
  • Para n = 0:
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
E assim por diante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial em série de potências em torno de é:
onde e são constantes arbitrárias.

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