Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
b. f(x) = cos(x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor e analisar como a série se comporta usando alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico . No nosso caso, , então estamos falando especificamente da série de Taylor centrada na origem, também conhecida como série de Maclaurin.
A fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de é:
Como , a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
  1. Derivada 0 (a função em si):
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
  5. Quarta derivada:
Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro ordens. Portanto, podemos generalizar que:
í

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores das derivadas, temos apenas os termos de ordem par (já que os ímpares são zero):
Aqui, substituímos para simplificar a expressão, onde é um inteiro não negativo.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão (Ratio Test). Consideramos o termo geral da série:
Aplicando o teste:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, ela converge para todo .

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