Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor e analisar como a série se comporta usando alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico
. No nosso caso,
, então estamos falando especificamente da série de Taylor centrada na origem, também conhecida como série de Maclaurin.
A fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de
é:
Como
, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
-
Derivada 0 (a função em si):
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Observamos que as derivadas de
se repetem a cada quatro ordens. Portanto, podemos generalizar que:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores das derivadas, temos apenas os termos de ordem par (já que os ímpares são zero):
Aqui, substituímos
para simplificar a expressão, onde
é um inteiro não negativo.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão (Ratio Test). Consideramos o termo geral da série:
Aplicando o teste:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo
. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, ela converge para todo
.
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Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
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Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
i.
i.
Verifique se a função
é solução da EDO
com a condição inicial
.