Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
i.
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Para isso, precisamos lembrar como funciona a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para o seno, e adaptar isso para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor (ou Maclaurin) para a função seno:
Essa série representa o seno como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, como a nossa função é
, basta substituir
por
na série de Taylor do seno:
Passo 4
Vamos simplificar um pouquinho:
Podemos escrever os primeiros termos para visualizar melhor:
Passo 5
Agora, sobre o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor do seno converge para todos os valores de
, ou seja, o raio de convergência é infinito. Isso significa que a série vale para qualquer valor real de
.
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
O raio de convergência dessa série é infinito.