Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
i. f(x) = sen(x/2), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de . Para isso, precisamos lembrar como funciona a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para o seno, e adaptar isso para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor (ou Maclaurin) para a função seno:
Essa série representa o seno como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, como a nossa função é , basta substituir por na série de Taylor do seno:

Passo 4

Vamos simplificar um pouquinho:
Podemos escrever os primeiros termos para visualizar melhor:

Passo 5

Agora, sobre o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor do seno converge para todos os valores de , ou seja, o raio de convergência é infinito. Isso significa que a série vale para qualquer valor real de .

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:
O raio de convergência dessa série é infinito.

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