Um objeto com uma determinada temperatura
é colocado em um ambiente com temperatura variável
, onde
é medido em horas. Modele a taxa com que esse objeto irá esfriar ao aquecer ao longo do tempo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com uma temperatura inicial
colocado em um ambiente cuja temperatura varia com o tempo, dada por , onde
é o tempo em horas. Nosso objetivo é modelar a taxa com que a temperatura do objeto muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar o Conceito de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a relacionar a variação da temperatura do objeto com a diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente.
Passo 2
O Conceito de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto (
) e a temperatura do ambiente (
). Matematicamente, isso pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Passo 3
Substituindo a expressão da temperatura do ambiente
na equação diferencial, temos:
Esta equação descreve como a temperatura do objeto
varia ao longo do tempo
, considerando a temperatura ambiente que também varia com o tempo.
Passo 4
Para simplificar a equação, vamos reorganizar os termos:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Portanto, podemos reescrever a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
A integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou utilizando a fórmula para a integral de uma exponencial multiplicada por uma função trigonométrica. O resultado dessa integral será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Após resolver a integral, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A taxa de variação da temperatura do objeto ao longo do tempo é modelada pela seguinte equação diferencial:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é solução da EDO
com a condição inicial
.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
i.
i.
Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO
.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.