Um objeto com uma determinada temperatura T0 é colocado em um ambiente com temperatura variável T_m(t) = 55 * sen(pi t / 12), onde t é medido em horas. Modele a taxa com que esse objeto irá esfriar ao aquecer ao longo do tempo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com uma temperatura inicial colocado em um ambiente cuja temperatura varia com o tempo, dada por , onde é o tempo em horas. Nosso objetivo é modelar a taxa com que a temperatura do objeto muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar o Conceito de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a relacionar a variação da temperatura do objeto com a diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente.

Passo 2

O Conceito de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto ( ) e a temperatura do ambiente ( ). Matematicamente, isso pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que depende das propriedades do objeto e do ambiente.

Passo 3

Substituindo a expressão da temperatura do ambiente na equação diferencial, temos:
Esta equação descreve como a temperatura do objeto varia ao longo do tempo , considerando a temperatura ambiente que também varia com o tempo.

Passo 4

Para simplificar a equação, vamos reorganizar os termos:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Portanto, podemos reescrever a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

A integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou utilizando a fórmula para a integral de uma exponencial multiplicada por uma função trigonométrica. O resultado dessa integral será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Após resolver a integral, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A taxa de variação da temperatura do objeto ao longo do tempo é modelada pela seguinte equação diferencial:

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