Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
m.
m.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a definição de série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de
é uma soma infinita de termos que representa a função como polinômio. A fórmula geral é:
Onde
é a n-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Como nosso ponto de expansão é
, a fórmula simplifica para:
Então, precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em 0.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Percebemos que as derivadas de
se repetem a cada duas derivações.
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Observamos que as derivadas ímpares são zero e as derivadas pares são iguais a 1.
Passo 6
Com isso, podemos escrever a série de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de
a série converge.
Aplique o critério da razão:
Como o limite é 0 para todo
, a série converge para qualquer valor de
.
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, a série converge para todo
real.
Exercícios relacionados
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO
.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Considere a EDO
com a condição inicial
. Verifique se a função
satisfaz a EDO e a condição inicial dada.