Verifique se a função implícita ln(x y) = x^2 + y^2 é uma solução da EDO y' = 2x - 2y ln(xy).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função implícita dada por . Nosso objetivo é verificar se essa função é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de diferenciação implícita e aplicar algumas propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que quando diferenciamos uma função implícita, tratamos y como uma função de x, ou seja, .

Passo 3

Aí vem a parte da diferenciação. A derivada de em relação a x é a derivada do logaritmo, que é vezes a derivada de x y. Usando a regra do produto, a derivada de x y é . Então:
Do lado direito, a derivada de é .

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos multiplicar ambos os lados por x y para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 5

Nosso objetivo é isolar . Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando :
Então, isolando :

Passo 6

Agora, vamos comparar essa expressão com a EDO dada . Para a função ser solução, as duas expressões para devem ser iguais. Observando a diferença, percebemos que para valores específicos de x e y, isso pode acontecer, mas de forma geral, a igualdade não se sustenta.

Resposta

Portanto, a função implícita não é uma solução da EDO .

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