Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função implícita dada por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de diferenciação implícita e aplicar algumas propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que quando diferenciamos uma função implícita, tratamos
como uma função de
, ou seja,
.
Passo 3
Aí vem a parte da diferenciação. A derivada de
em relação a
é a derivada do logaritmo, que é
vezes a derivada de
. Usando a regra do produto, a derivada de
é
. Então:
Do lado direito, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos comparar essa expressão com a EDO dada
. Para a função ser solução, as duas expressões para
devem ser iguais. Observando a diferença, percebemos que para valores específicos de
e
, isso pode acontecer, mas de forma geral, a igualdade não se sustenta.
Resposta
Portanto, a função implícita
não é uma solução da EDO
.
Exercícios relacionados
Um objeto com uma determinada temperatura
é colocado em um ambiente com temperatura variável
, onde
é medido em horas. Modele a taxa com que esse objeto irá esfriar ao aquecer ao longo do tempo.
Verifique se a função
é solução da EDO
com a condição inicial
.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
m.
m.