I=integral0^a integral0^raiza^2-r^2 integral0^raiza^2-x^2-y^2 x^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral tripla para resolver:
I = integral0^a integral0^raiza^2-x^2 integral0^raiza^2-x^2-y^2 x^2 , dz , dy , dx
O que temos aqui:
  • Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas (especificamente, integrais triplas).
  • Objetivo: Calcular o valor dessa integral que envolve a função sobre uma região tridimensional limitada por .
  • O que precisamos: Entender como resolver integrais triplas, talvez mudando de coordenadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a integral0^raiza^2-x^2-y^2 x^2 , dz .
A integral interna é:
integral0^raiza^2-x^2-y^2 x^2 , dz = x^2 times raiza^2-x^2-y^2
Como resolver:
  • Integração em relação a : Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
  • Resultado da integração: Multiplicamos pelo limite de integração.
Então,

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em I = integral0^a integral0^raiza^2-x^2 x^2 raiza^2-x^2-y^2 , dy , dx na integral de :
Essa integral ainda está em coordenadas cartesianas, o que pode complicar um pouco as coisas. Para simplificar, vamos mudar para coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões que lembram esferas.

Passo 4

Coordenadas esféricas:
  • Definição: Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
    • : distância do ponto à origem.
    • (fi): ângulo polar, medindo do eixo para o vetor .
    • : ângulo azimutal, medindo no plano .
Transformações:
Jacobian da transformação:
Por que mudar para esféricas? Porque a região de integração é uma parte de uma esfera, e as coordenadas esféricas simplificam bastante os limites e a integração.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas.
Primeiro, substituímos I = integral0^a integral0^pi/2 integral0^pi/2 ( r^2 sin^2phi cos^2theta ) times r^2 sinphi , dtheta , dphi , dr e a função :
Agora, a integral se torna:
Explicação:
  • Os limites para vão de 0 a (raio da esfera).
  • vai de 0 a porque estamos considerando apenas a metade superior da esfera.
  • vai de 0 a para cobrir o primeiro octante.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
I = integral0^a r^4 ( integral0^pi/2 sin^3phi , dphi ) ( integral0^pi/2 cos^2theta , dtheta ) dr
Separação das integrais:
  • Separamos as integrais de e porque são funções independentes.
  • Calculamos cada uma separadamente.

Passo 7

Calculando a integral em integral0^pi/2 cos^2theta , dtheta :
integral0^pi/2 cos^2theta , dtheta = integral0^pi/2 1 + cos(2theta)2 , dtheta = pi4
Como resolver:
  • Usamos a identidade trigonométrica: .
Então,

Passo 8

Calculando a integral em integral0^pi/2 sin^3phi , dphi :
integral sin^nphi , dphi = (n-1)n integral sin^n-2phi , dphi
Como resolver:
  • Usamos a fórmula para integrais de potências de seno:
integral0^pi/2 sin^3phi , dphi = 23
Aplicando isso,

Passo 9

Agora, substituímos os resultados das integrais de I = integral0^a r^4 times 23 times pi4 , dr = pi6 integral0^a r^4 , dr e na expressão original:

Passo 10

Finalmente, calculamos a integral em integral0^a r^4 , dr = [ r^55 ]0^a = a^55 :
I = pi6 times a^55 = pi a^530
Multiplicando pelos coeficientes,

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
p. (2x - x^2) y'' - 6(x - 1) y' - 4y = 0, x0 = 1
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j. f(x) = x^2 * sen(x), x0 = 0
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função f(x) dada em torno do ponto x_0. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l. f(x) = x^2 cos(x^2), x0 = 0
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
d. (1-x) y'' + x y' - y = 0, y(0) = -3, y'(0) = 2