Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral tripla para resolver:
O que temos aqui:
- Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas (especificamente, integrais triplas).
- Objetivo: Calcular o valor dessa integral que envolve a função
sobre uma região tridimensional limitada por . - O que precisamos: Entender como resolver integrais triplas, talvez mudando de coordenadas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a
.
A integral interna é:
Como resolver:
- Integração em relação a
: Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . - Resultado da integração: Multiplicamos
pelo limite de integração.
Então,
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da integral em
na integral de
:
Essa integral ainda está em coordenadas cartesianas, o que pode complicar um pouco as coisas. Para simplificar, vamos mudar para coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões que lembram esferas.
Passo 4
Coordenadas esféricas:
- Definição: Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
-
: distância do ponto à origem. -
(fi): ângulo polar, medindo do eixo para o vetor . -
: ângulo azimutal, medindo no plano .
-
Transformações:
Jacobian da transformação:
Por que mudar para esféricas? Porque a região de integração é uma parte de uma esfera, e as coordenadas esféricas simplificam bastante os limites e a integração.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas.
Primeiro, substituímos
e a função
:
Agora, a integral se torna:
Explicação:
- Os limites para
vão de 0 a (raio da esfera). -
vai de 0 a porque estamos considerando apenas a metade superior da esfera. -
vai de 0 a para cobrir o primeiro octante.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Separação das integrais:
- Separamos as integrais de
e porque são funções independentes. - Calculamos cada uma separadamente.
Passo 7
Calculando a integral em
:
Como resolver:
- Usamos a identidade trigonométrica:
.
Então,
Passo 8
Calculando a integral em
:
Como resolver:
- Usamos a fórmula para integrais de potências de seno:
Aplicando isso,
Passo 9
Agora, substituímos os resultados das integrais de
e
na expressão original:
Passo 10
Finalmente, calculamos a integral em
:
Multiplicando pelos coeficientes,
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
p.
p.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
j.
j.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l.
l.
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
d.