Mostre que
não é subespaço de
para os seguintes casos:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto
não é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar se
atende aos critérios necessários para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que define um subespaço de um espaço vetorial. Em termos simples, um subespaço deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço maior deve estar no subespaço.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do subespaço e somá-los, o resultado também deve estar no subespaço.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do subespaço e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição de
:
Como
é verdadeiro, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Agora, vamos somar esses vetores:
Como
e
, então
. Portanto, a soma
também está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
:
Agora, precisamos que
para que
esteja em
. No entanto, se escolhermos um escalar negativo, por exemplo,
, então:
Aqui,
será
se
, o que significa que
não satisfaz
. Portanto,
não está em
quando
é negativo.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar (não satisfaz a terceira condição), concluímos que
não é um subespaço de
.