Mostre que W não é subespaço de R^3 para os seguintes casos: W=(x, y, z) in R^3: x >= 0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto não é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar se atende aos critérios necessários para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que define um subespaço de um espaço vetorial. Em termos simples, um subespaço deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço maior deve estar no subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do subespaço e somá-los, o resultado também deve estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do subespaço e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x = 0 >= 0 :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição de :
Como é verdadeiro, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se u = (x1, y1, z1) com x1 >= 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em v = (x2, y2, z2) com x2 >= 0 :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Agora, vamos somar esses vetores:
Como e , então . Portanto, a soma também está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se u = (x, y, z) com x >= 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = (c x, c y, c z) :
-1 cdot u = (-x, -y, -z)
E multiplicar por um escalar :
Agora, precisamos que para que esteja em . No entanto, se escolhermos um escalar negativo, por exemplo, , então:
Aqui, será se , o que significa que não satisfaz . Portanto, não está em quando é negativo.

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar (não satisfaz a terceira condição), concluímos que não é um subespaço de .

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