Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
d) centro C(1,2), foco F(6,2) e P(4,6) é um ponto de seu gráfico;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da elipse usando as informações que foram dadas: o centro , um dos focos e um ponto que está na elipse . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da elipse com centro em (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1 é:
c^2 = a^2 - b^2
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Além disso, a distância do centro até cada foco é representada por , e temos a relação:
Vamos identificar esses valores com as informações que temos.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse é c = |6 - 1| = 5 e um foco é . A distância entre o centro e o foco é :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos descobrir o valor de (4-1)^2a^2 + (6-2)^2b^2 = 1 9a^2 + 16b^2 = 1 . Para isso, vamos usar o ponto 25 = a^2 - b^2 que está na elipse. Substituindo e na equação padrão:
E lembrando da relação :

Passo 5

Temos um sistema de duas equações para resolver:
9a^2 + 16b^2 = 1 a^2 - b^2 = 25
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da segunda equação:
a^2 = b^2 + 25
Substituímos esse valor na primeira equação:
9b^2 + 25 + 16b^2 = 1
Multiplicando tudo por 9b^2 + 16(b^2 + 25) = b^2(b^2 + 25) para eliminar os denominadores:
9b^2 + 16b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 25b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 400 = b^4 b^2 = 20
Simplificando:
Então, .

Passo 7

Agora, voltamos para a^2 = b^2 + 25 = 20 + 25 = 45 :
Portanto, .

Passo 8

Com (x-1)^245 + (y-2)^220 = 1 , , e , a equação da elipse fica:

Resposta

A equação da elipse é:
(x-1)^245 + (y-2)^220 = 1

Exercícios relacionados