Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
d) centro
, foco
e
é um ponto de seu gráfico;
d) centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da elipse usando as informações que foram dadas: o centro
, um dos focos
e um ponto que está na elipse
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da elipse com centro em
é:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Além disso, a distância do centro até cada foco é representada por
, e temos a relação:
Vamos identificar esses valores com as informações que temos.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse é
e um foco é
. A distância entre o centro e o foco é
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir o valor de
. Para isso, vamos usar o ponto
que está na elipse. Substituindo
e
na equação padrão:
E lembrando da relação
:
Passo 5
Temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, da segunda equação:
Substituímos esse valor na primeira equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Então,
.
Passo 7
Agora, voltamos para
:
Portanto,
.
Passo 8
Com
,
,
e
, a equação da elipse fica:
Resposta
A equação da elipse é: