Prove que:
(a) -(-u)=u
(b) u=-u Leftrightarrow u=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois problemas sobre vetores. O primeiro é mostrar que -(-u) é igual a u. O segundo é provar que u = -u só acontece se u for o vetor zero. Para isso, vamos precisar entender o que significa o vetor oposto e o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor oposto -u é aquele que tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor u. Por exemplo, se u aponta para a direita, -u aponta para a esquerda.

Passo 3

Agora, vamos considerar o oposto do oposto, que é -(-u). Aplicando a definição, estamos invertendo a direção de -u, o que traz a direção de volta para a original de u. Assim, -(-u) = u.

Passo 4

Para a segunda parte, queremos provar que se u = -u, então u deve ser o vetor zero. Vamos começar assumindo que u = -u.

Passo 5

Somando u em ambos os lados da equação, temos:
u + u = -u + u
O lado esquerdo fica 2u e o lado direito, 0, porque qualquer vetor mais o seu oposto é o vetor zero.

Passo 6

Então, temos:
2u = 0
Para isolar u, dividimos ambos os lados por 2:
u = 0
Isso mostra que o único vetor que é igual ao seu oposto é o vetor zero.

Resposta

(a) -(-u) = u
(b) u = -u Leftrightarrow u = 0

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