Sejam os planos:
& pi1: 2 x-y+4 z-7=0 & pi2:(m-1) x-(m-2) y+(m+1) z+5=0
Calcular o valor de m para que pi1 | pi2.
Resposta: m=3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos definidos pelas equações:
& pi1: 2x - y + 4z - 7 = 0 & pi2: (m-1)x - (m-2)y + (m+1)z + 5 = 0
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que os dois planos sejam paralelos ( ). Para resolver isso, precisamos entender que dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais.

Passo 2

Vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano n1 = (2, -1, 4) é n2 = (m-1, -(m-2), m+1) .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, queremos que n2 = k cdot n1 e (m-1, -(m-2), m+1) = k cdot (2, -1, 4) sejam proporcionais. Isso significa que existe um escalar tal que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos igualar cada componente:
Isso nos dá um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Resolvendo a segunda equação:
-(m - 2) = -k Rightarrow -m + 2 = -k Rightarrow k = m - 2

Passo 6

Substituindo m - 1 = 2(m - 2) m - 1 = 2m - 4 -1 + 4 = 2m - m 3 = m na primeira equação:

Passo 7

Para confirmar, substituímos 3 + 1 = 4k 4 = 4k k = 1 na terceira equação:
Os valores são consistentes, então é a solução correta.

Resposta

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