Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r1
r1:l x=3+t y=4 z=2
e a reta r2
r2:c x=1+t y=3+2 t z=-5+t
Resposta: cos (theta)=1 / raiz6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. O conteúdo que vamos usar é de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas. Para isso, vamos precisar das direções das retas, que são dadas pelos coeficientes das variáveis nas equações paramétricas, e da fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das duas retas. Nas equações paramétricas, os coeficientes de r1:l x=3+t y=4 z=2 nos dão os vetores direções.
Para a reta r2:c x=1+t y=3+2 t z=-5+t :
O vetor direção é , porque o coeficiente de em é 1, e não há em e .
Para a reta :
O vetor direção é , já que os coeficientes de em , e são 1, 2 e 1, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = v1 cdot v2|v1| times |v2| entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v1 cdot v2 = (1)(1) + (0)(2) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
Para |v1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1 :
|v2| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 11 times raiz6 = 1raiz6

Resposta

cos (theta) = 1raiz6

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