Calcular o cosseno do ângulo entre a reta r1
r1:l x=3 y=4 z=2+t
e a reta r2
r2:c x=1+t y=3+t z=-5+t
Resposta: cos (theta)=1 / raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica e vetores. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r1: l x = 3 y = 4 z = 2 + t e 0 0 1 . A reta é dada por:
Aqui, percebemos que é o parâmetro, então o vetor diretor de é , já que apenas a coordenada varia com .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2: c x = 1 + t y = 3 + t z = -5 + t :
1 1 1
Aqui, todas as coordenadas , e variam com , então o vetor diretor de é .

Passo 4

Para encontrar o cosseno do ângulo cos(theta) = v1 cdot v2|v1| cdot |v2| entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Calculando o produto escalar:
v1 cdot v2 = (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|v1| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1
|v2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 11 cdot raiz3 = 1raiz3

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas cos(theta) = 1raiz3 e é:

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