Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
f) centro sobre a reta r: y=2, foco F(3,4), excentricidade e=2 raiz55.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo que seu centro está na reta , que um dos focos está no ponto , e a excentricidade é . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de elipses e fórmulas matemáticas que nos ajudam a chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a excentricidade e = ca de uma elipse. A excentricidade é uma medida de quão “esticada” a elipse está. Ela é definida pela fórmula:
Onde:
  • é a distância do centro até cada foco.
  • é o comprimento do semi-eixo maior da elipse.
Sabendo disso, precisamos descobrir os valores de e para construir a equação da elipse.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse está na reta c = raiz(h - 3)^2 + (2 - 4)^2 = raiz(h - 3)^2 + 4 , então a coordenada do centro é 2. Vamos chamar o centro de , onde é a coordenada que ainda precisamos encontrar.
O foco dado está no ponto . A distância entre o centro e o foco é , que podemos calcular usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Agora, vamos usar a excentricidade para relacionar e = ca Rightarrow a = ce e a = c2raiz55 = 5c2raiz5 = 5c2raiz5 times raiz5raiz5 = 5craiz510 = craiz52 . Temos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Também sabemos que para elipses, a relação entre a^2 = b^2 + c^2 , e é dada por:
Onde é o comprimento do semi-eixo menor. Mas antes de seguirmos, precisamos encontrar o valor de , a coordenada do centro.

Passo 6

Vamos voltar à distância c = raiz(h - 3)^2 + 4 :
a = craiz52
E já expressamos em função de :
Agora, queremos que a distância também satisfaça a relação da excentricidade. Vamos reorganizar para encontrar .

Passo 7

Sabemos que:
e = ca Rightarrow 2raiz55 = ccraiz52 = 2raiz5
Isso confirma que nossas relações estão corretas e nos ajuda a progredir sem inconsistências.

Passo 8

Agora, percebemos que temos uma equação envolvendo c = raiz(h - 3)^2 + 4 . Vamos resolver para encontrar o valor de c = a times e = craiz52 times 2raiz55 = c times 1010 = c :
Podemos usar a relação da excentricidade para substituir :
Isso nos mostra que a relação está consistente, mas precisamos de mais informações para encontrar . Observando que o centro está na reta e o foco está em , podemos inferir que a elipse tem eixo vertical.

Passo 9

Com o eixo vertical, a equação geral da elipse é:
(x - h)^2b^2 + (y - 2)^2a^2 = 1
Sabemos que:
a^2 = b^2 + c^2
E que . Precisamos agora determinar .

Passo 10

A posição do centro e do foco sugere que a distância entre eles é . Como o eixo é vertical, o foco está acima ou abaixo do centro.
Dado que o foco é e o centro está em , a distância vertical entre eles é unidades (de para ). Portanto, .

Passo 11

Agora, temos e = ca Rightarrow 2raiz55 = 2a Rightarrow a = 2 times 52raiz5 = 5raiz5 = raiz5 . Vamos usar a excentricidade para encontrar :
Então, .

Passo 12

Com a^2 = b^2 + c^2 Rightarrow (raiz5)^2 = b^2 + 2^2 Rightarrow 5 = b^2 + 4 Rightarrow b^2 = 1 Rightarrow b = 1 e , podemos encontrar usando a relação:

Passo 13

Agora, sabemos que c = raiz(h - 3)^2 + 4 = 2 Rightarrow (h - 3)^2 + 4 = 4 Rightarrow (h - 3)^2 = 0 Rightarrow h = 3 , , e . Precisamos encontrar , a coordenada do centro. Sabemos que o foco está em e que a distância horizontal entre o centro e o foco é . Como , temos:
Então, o centro é .

Passo 14

Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação da elipse:
(x - 3)^21 + (y - 2)^25 = 1
Simplificando:
(x - 3)^2 + (y - 2)^25 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 3)^2 + (y - 2)^25 = 1

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