Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
f) centro sobre a reta
, foco
, excentricidade
.
f) centro sobre a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo que seu centro está na reta
, que um dos focos está no ponto
, e a excentricidade é
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de elipses e fórmulas matemáticas que nos ajudam a chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a excentricidade
de uma elipse. A excentricidade é uma medida de quão “esticada” a elipse está. Ela é definida pela fórmula:
Onde:
-
é a distância do centro até cada foco. -
é o comprimento do semi-eixo maior da elipse.
Sabendo disso, precisamos descobrir os valores de
e
para construir a equação da elipse.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse está na reta
, então a coordenada
do centro é 2. Vamos chamar o centro de
, onde
é a coordenada
que ainda precisamos encontrar.
O foco dado está no ponto
. A distância entre o centro
e o foco
é
, que podemos calcular usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Agora, vamos usar a excentricidade para relacionar
e
. Temos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Também sabemos que para elipses, a relação entre
,
e
é dada por:
Onde
é o comprimento do semi-eixo menor. Mas antes de seguirmos, precisamos encontrar o valor de
, a coordenada
do centro.
Passo 6
Vamos voltar à distância
:
E já expressamos
em função de
:
Agora, queremos que a distância
também satisfaça a relação da excentricidade. Vamos reorganizar para encontrar
.
Passo 7
Sabemos que:
Isso confirma que nossas relações estão corretas e nos ajuda a progredir sem inconsistências.
Passo 8
Agora, percebemos que temos uma equação envolvendo
. Vamos resolver para encontrar o valor de
:
Podemos usar a relação da excentricidade para substituir
:
Isso nos mostra que a relação está consistente, mas precisamos de mais informações para encontrar
. Observando que o centro está na reta
e o foco está em
, podemos inferir que a elipse tem eixo vertical.
Passo 9
Com o eixo vertical, a equação geral da elipse é:
Sabemos que:
E que
. Precisamos agora determinar
.
Passo 10
A posição do centro e do foco sugere que a distância entre eles é
. Como o eixo é vertical, o foco está acima ou abaixo do centro.
Dado que o foco é
e o centro está em
, a distância vertical entre eles é
unidades (de
para
). Portanto,
.
Passo 11
Agora, temos
. Vamos usar a excentricidade para encontrar
:
Então,
.
Passo 12
Com
e
, podemos encontrar
usando a relação:
Passo 13
Agora, sabemos que
,
, e
. Precisamos encontrar
, a coordenada
do centro. Sabemos que o foco está em
e que a distância horizontal entre o centro e o foco é
. Como
, temos:
Então, o centro é
.
Passo 14
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação da elipse:
Simplificando:
Resposta
A equação da elipse é: