Escreva E como combinação linear, se possível de A=(cc1 & 1 0 & -1), B=(cc1 & 1 -1 & 0), C=(cc1 & -1 0 & 0), onde
E=(cc2 & 1 -1 & -2)
Que conjunto de M2(R) pode ser escrito como combinação linear de A, B e C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a matriz 2 & 1 -1 & -2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes e . Isso envolve entender conceitos como combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar configurar um sistema de equações que represente essa combinação e resolver para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de alpha A + beta B + gamma C = E e é uma expressão da forma:
onde são números reais que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos escrever essa combinação linear explicitamente substituindo as matrizes:
alpha 1 & 1 0 & -1 + beta 1 & 1 -1 & 0 + gamma 1 & -1 0 & 0 = 2 & 1 -1 & -2
Agora, vamos somar as matrizes do lado esquerdo termo a termo.

Passo 4

Somando as matrizes, temos:
alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 1 & alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot (-1) alpha cdot 0 + beta cdot (-1) + gamma cdot 0 & alpha cdot (-1) + beta cdot 0 + gamma cdot 0 = 2 & 1 -1 & -2
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (elemento [1,1])
  2. (elemento [1,2])
  3. (elemento [2,1])
  4. (elemento [2,2])

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da equação 3:
-beta = -1 implies beta = 1
Da equação 4:
-alpha = -2 implies alpha = 2
Agora, substituímos 2 + 1 + gamma = 2 implies gamma = 2 - 2 - 1 = -1 e nas equações 1 e 2 para encontrar .
Da equação 1:

Passo 6

Então, encontramos que:
alpha = 2, beta = 1, gamma = -1

Resposta

A matriz E = 2A + 1B - 1C pode ser escrita como combinação linear de e da seguinte forma:
O conjunto de todas as combinações lineares de e forma um subespaço de que pode ser descrito por todas as matrizes que podem ser expressas como .

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