Escreva
como combinação linear, se possível de
,
, onde
Que conjunto de
pode ser escrito como combinação linear de
e
?
Que conjunto de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes
e
. Isso envolve entender conceitos como combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar configurar um sistema de equações que represente essa combinação e resolver para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de
e
é uma expressão da forma:
onde
são números reais que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos escrever essa combinação linear explicitamente substituindo as matrizes:
Agora, vamos somar as matrizes do lado esquerdo termo a termo.
Passo 4
Somando as matrizes, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(elemento [1,1]) -
(elemento [1,2]) -
(elemento [2,1]) -
(elemento [2,2])
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da equação 3:
Da equação 4:
Agora, substituímos
e
nas equações 1 e 2 para encontrar
.
Da equação 1:
Passo 6
Então, encontramos que:
Resposta
A matriz
pode ser escrita como combinação linear de
e
da seguinte forma:
O conjunto de todas as combinações lineares de
e
forma um subespaço de
que pode ser descrito por todas as matrizes que podem ser expressas como
.