Prove que B C-B A=A C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que BC - BA = AC. Estamos lidando com álgebra vetorial, e para resolver isso, vamos precisar entender como expressar cada um desses vetores usando posições dos pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor entre dois pontos pode ser representado pela diferença das posições desses pontos. Então, se temos pontos BA = A - B , BC = C - B , e BC - BA = AC , podemos escrever:
E queremos provar que:

Passo 3

Vamos substituir as expressões que encontramos para BC - BA = (C - B) - (A - B) e na equação que queremos provar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão. Distribuímos o sinal negativo:
(C - B) - A + B
Os termos C - A e se cancelam:

Passo 5

Perceba que BC - BA = AC é exatamente o vetor (lembre que ). Então temos:

Resposta

Prontinho! Com isso, provamos que .

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