Considere
, onde
. Para que valores de
e
é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
Então, a gente tem esse conjunto
. A questão pergunta para quais valores de
e
esse conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, lembra que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado para adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. Substituindo
,
e
na equação
, temos:
Então, para o vetor zero estar em
, é necessário que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as outras duas condições assumindo que
. A equação fica
.
- Fechamento para adição: Se
e estão em , então:
Ou seja, a soma também está em
.
- Fechamento para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então:
Logo, o múltiplo também está em
.
Passo 5
Concluímos que, quando
,
satisfaz todas as três condições para ser um subespaço vetorial de
. Além disso, se
, o vetor zero não está em
, então
não pode ser um subespaço.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
se e somente se
.