Considere W=(x, y, z) in R^3 ; a x+b y+c z=d, onde a, b, c, d in R. Para que valores de a, b, c e d, W é um subespaço vetorial de R^3 ?

Passo 1

Então, a gente tem esse conjunto . A questão pergunta para quais valores de e esse conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, lembra que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado para adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. Substituindo a(0) + b(0) + c(0) = d Rightarrow 0 = d , e na equação , temos:
Então, para o vetor zero estar em , é necessário que .

Passo 4

Agora, vamos verificar as outras duas condições assumindo que a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) = (a x1 + b y1 + c z1) + (a x2 + b y2 + c z2) = 0 + 0 = 0 . A equação fica a(kx) + b(ky) + c(kz) = k(a x + b y + c z) = k cdot 0 = 0 .
  • Fechamento para adição: Se e estão em , então:
Ou seja, a soma também está em .
  • Fechamento para multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então:
Logo, o múltiplo também está em .

Passo 5

Concluímos que, quando , satisfaz todas as três condições para ser um subespaço vetorial de . Além disso, se , o vetor zero não está em , então não pode ser um subespaço.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de se e somente se .

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