Dada a elipse de equação
, determine os seguintes itens:
a) as coordenadas dos vértices e focos;
a) as coordenadas dos vértices e focos;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação
e precisa encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos dessa elipse. Para isso, vamos precisar colocar a equação em forma padrão da elipse, completando quadrados, e então identificar as informações importantes como centro, eixos e distância dos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral da elipse na forma padrão.
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo de volta na equação:
Somando os termos constantes:
Passo 5
Vamos dividir tudo por 4 para facilitar:
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Onde
é o centro,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 6
Comparando as equações, temos:
- Centro:
-
-
Como
, o eixo maior é o eixo
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os vértices. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Então, os vértices são:
Passo 8
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (eixo
):
Resposta
Os vértices da elipse são
e
, e os focos são
e
.