Dada a elipse de equação x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0, determine os seguintes itens:
a) as coordenadas dos vértices e focos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação e precisa encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos dessa elipse. Para isso, vamos precisar colocar a equação em forma padrão da elipse, completando quadrados, e então identificar as informações importantes como centro, eixos e distância dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y = -33 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 e 4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) = 4[(y - 3)^2 - 9] = 4(y - 3)^2 - 36 . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral da elipse na forma padrão.
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 = -33
Somando os termos constantes:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 37 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 5

Vamos dividir tudo por 4 para facilitar:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 6

Comparando as equações, temos:
  • Centro:
Como , o eixo maior é o eixo .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vértices. Os vértices estão a uma distância (-1 - 2, 3) = (-3, 3) do centro ao longo do eixo maior.
Então, os vértices são:
(-1 + 2, 3) = (1, 3)

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 4 - 1 = 3 Rightarrow c = raiz3 :
(-1 - raiz3, 3) e (-1 + raiz3, 3)
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior (eixo ):

Resposta

Os vértices da elipse são e , e os focos são e .

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