Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
e) focos
e
, e
;
e) focos
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a equação da elipse usando os dados que a gente tem: dois focos,
e
, e a medida de
. Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é definida pelos seus focos e pela soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante. Aqui,
representa o comprimento do eixo maior da elipse. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula padrão da elipse e entender como os parâmetros se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio dos dois focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, a gente faz a média das coordenadas:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é
. Isso é importante porque na elipse,
está relacionado ao eixo maior e ao eixo menor pela relação
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Calculando a distância entre
e
:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que o comprimento do eixo maior é
, então o semi-eixo maior é:
Agora, usando a relação
, podemos encontrar
:
Passo 5
Com o centro
,
, e
, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados verticalmente, o eixo maior é vertical, então a fórmula da elipse fica:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: