Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
e) focos F1(-4,-2) e F2(-4,-6), e med(L R)=6;

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a equação da elipse usando os dados que a gente tem: dois focos, F1(-4,-2) e F2(-4,-6), e a medida de LR = 6. Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é definida pelos seus focos e pela soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante. Aqui, LR = 6 representa o comprimento do eixo maior da elipse. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula padrão da elipse e entender como os parâmetros se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio dos dois focos. Para encontrar o ponto médio entre F1(-4,-2) e F2(-4,-6), a gente faz a média das coordenadas:
h = -4 + (-4)2 = -4 k = -2 + (-6)2 = -4
Então, o centro da elipse é C(-4, -4).

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é 2c. Isso é importante porque na elipse, c está relacionado ao eixo maior e ao eixo menor pela relação c^2 = a^2 - b^2, onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.
Calculando a distância entre F1(-4,-2) e F2(-4,-6):
2c = raiz( -4 - (-4) )^2 + (-6 - (-2))^2 = raiz0 + (-4)^2 = raiz16 = 4
Então, c = 2.

Passo 4

Sabemos que o comprimento do eixo maior é 2a = 6, então o semi-eixo maior é:
a = 62 = 3
Agora, usando a relação c^2 = a^2 - b^2, podemos encontrar b:
c^2 = a^2 - b^2 2^2 = 3^2 - b^2 4 = 9 - b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5

Passo 5

Com o centro C(-4, -4), a = 3, e b^2 = 5, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados verticalmente, o eixo maior é vertical, então a fórmula da elipse fica:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo os valores:
(x + 4)^25 + (y + 4)^29 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 4)^25 + (y + 4)^29 = 1

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