Determinar a equação do plano que contém o ponto A(4,1,1) e é perpendicular aos planos pi1: 2 x+y-3 z=0 e pi2: x+y-2 z-3=0.
Resposta: x+y+z-6=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um plano. O problema nos dá um ponto que pertence ao plano e informa que o plano é perpendicular a dois outros planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal, além de utilizar o conceito de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos dados. A equação geral de um plano é dada por , onde é o vetor normal ao plano.
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos e , o vetor normal desse novo plano será perpendicular aos vetores normais e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial n1 times n2 = i & j & k 2 & 1 & -3 1 & 1 & -2 :
n1 times n2 = i(1 cdot (-2) - (-3) cdot 1) - j(2 cdot (-2) - (-3) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 1)
Calculando o determinante:
= i(-2 + 3) - j(-4 + 3) + k(2 - 1)
= i(1) - j(-1) + k(1)
= (1, 1, 1)
Portanto, o vetor normal do plano que queremos determinar é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto que está no plano, 1(x - 4) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 , podemos usar a equação do plano:
x - 4 + y - 1 + z - 1 = 0
Onde x + y + z - 6 = 0 é o ponto e são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:

Resposta

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