Determinar a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular aos planos e .
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um plano. O problema nos dá um ponto que pertence ao plano e informa que o plano é perpendicular a dois outros planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal, além de utilizar o conceito de vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos dados. A equação geral de um plano é dada por , onde é o vetor normal ao plano.
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .
Passo 3
Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos e , o vetor normal desse novo plano será perpendicular aos vetores normais e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
= i(-2 + 3) - j(-4 + 3) + k(2 - 1)
= i(1) - j(-1) + k(1)
= (1, 1, 1)
Portanto, o vetor normal do plano que queremos determinar é .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto que está no plano, 1(x - 4) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 , podemos usar a equação do plano:
x - 4 + y - 1 + z - 1 = 0
Onde x + y + z - 6 = 0 é o ponto e são as componentes do vetor normal.