Seja o plano:
pi: 2 x+y+3 z+15=0
e a reta
r: P=(4,-7,3)+t(m-1, m-2, m+1), t in R
Calcular o valor de m para que pi | r.
Resposta: m=1 / 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano e uma reta, e a tarefa é descobrir qual o valor de que faz com que o plano seja paralelo à reta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos entender as condições que determinam a paralelismo entre um plano e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais e diretores. O plano pi: 2x + y + 3z + 15 = 0 é dado por:
r: P = (4, -7, 3) + t(m-1, m-2, m+1), t in R
O vetor normal ao plano é .
A reta é dada por:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Para que o plano n cdot d = 0 seja paralelo à reta , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
n cdot d = 2(m - 1) + 1(m - 2) + 3(m + 1)
Simplificando:
2m - 2 + m - 2 + 3m + 3 = 0
(2m + m + 3m) + (-2 - 2 + 3) = 0
6m - 1 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para 6m - 1 = 0 implies 6m = 1 implies m = 16 :

Resposta

O valor de que faz com que o plano seja paralelo à reta é .

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