Seja o plano:
pi: 2 x-y+4 z-7=0
e a reta
r: P=(2,-1,4)+t(m+1, m-2, m), t in R
Calcular o valor de m para que pi | r.
Resposta: m=-4 / 5

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano dado por:
pi: 2x - y + 4z - 7 = 0
e uma reta dada por:
r: P = (2, -1, 4) + t(m+1, , m-2, , m), t in R
Queremos encontrar o valor de que faz com que o plano seja paralelo à reta .
Para resolver isso, vamos precisar entender como um plano pode ser paralelo a uma reta. Basicamente, isso acontece quando o vetor diretor da reta é paralelo ao próprio plano. Isso significa que o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos usar essa ideia para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano n = (2, -1, 4) . O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta P = (2, -1, 4) + t(m+1, , m-2, , m) . A reta está na forma paramétrica:
d = (m+1, , m-2, , m)
Aqui, o vetor diretor é o que está multiplicando o parâmetro , ou seja:

Passo 4

Para que o plano n cdot d = 0 seja paralelo à reta , o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar é igual a zero. Portanto, devemos ter:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre n cdot d = (2, -1, 4) cdot (m+1, , m-2, , m) = 2(m+1) + (-1)(m-2) + 4m e 2(m+1) + (-1)(m-2) + 4m &= 2m + 2 - m + 2 + 4m &= (2m - m + 4m) + (2 + 2) &= 5m + 4 :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, igualamos o produto escalar a zero para encontrar 5m + 4 = 0 :
5m &= -4 m &= -45
Resolvendo para :

Resposta

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