Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
d) assíntotas
e
e um dos vértices
;
d) assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando as informações dadas: as assíntotas
e
, e um dos vértices
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto central da hipérbole. Sabemos que as assíntotas se cruzam no centro da hipérbole. Para isso, vamos resolver o sistema das duas equações das assíntotas:
Somando as duas equações:
Substituindo
em uma das equações:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a inclinação das assíntotas. Reescrevendo as equações das assíntotas na forma
:
As inclinações são
e
. Para uma hipérbole com assíntotas que se relacionam com
, temos:
Passo 4
Sabendo que
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, precisamos relacionar isso com a distância do centro até o vértice. A distância entre o centro
e o vértice
é:
Essa distância é igual a
, então:
Passo 5
Com
e
, podemos montar a equação padrão da hipérbole. Como as assíntotas têm inclinação
, e o centro é
, a equação será:
Resposta
A equação da hipérbole é: