Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
d) assíntotas r: 4 x+y-11=0 e s: 4 x-y-13=0 e um dos vértices V(3,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando as informações dadas: as assíntotas e , e um dos vértices . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto central da hipérbole. Sabemos que as assíntotas se cruzam no centro da hipérbole. Para isso, vamos resolver o sistema das duas equações das assíntotas:
4x + y - 11 = 0 4x - y - 13 = 0
Somando as duas equações:
8x - 24 = 0 implies x = 3
Substituindo 4(3) + y - 11 = 0 implies y = -1 em uma das equações:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a inclinação das assíntotas. Reescrevendo as equações das assíntotas na forma r: y = -4x + 11 s: y = 4x - 13 :
ba = 4
As inclinações são e . Para uma hipérbole com assíntotas que se relacionam com , temos:

Passo 4

Sabendo que b = 4a , podemos expressar Distância = raiz(3-3)^2 + (1 - (-1))^2 = raiz0 + 4 = 2 em termos de a = 2 b = 4a = 8 :
Agora, precisamos relacionar isso com a distância do centro até o vértice. A distância entre o centro e o vértice é:
â
Essa distância é igual a , então:

Passo 5

Com (y + 1)^2a^2 - (x - 3)^2b^2 = 1 (y + 1)^24 - (x - 3)^264 = 1 e , podemos montar a equação padrão da hipérbole. Como as assíntotas têm inclinação , e o centro é , a equação será:

Resposta

A equação da hipérbole é:
(y + 1)^24 - (x - 3)^264 = 1

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