Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx-2 y+z=0 2 x-3 y+2 z=1 3 x+y-z=7 x+4 y-3 z=6

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: temos um sistema de quatro equações com três incógnitas , e . O objetivo é classificar o sistema (ou seja, ver se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução) e resolver, se possível. Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que vai facilitar a aplicação da eliminação de Gauss:
1 & -2 & 1 & | & 0 2 & -3 & 2 & | & 1 3 & 1 & -1 & | & 7 1 & 4 & -3 & | & 6

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar o 2 - 2(1) = 0 -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1 2 - 2(1) = 0 1 - 2(0) = 1 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha para ajustar as demais:
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2:
    3 - 3(1) = 0 1 - 3(-2) = 1 + 6 = 7 -1 - 3(1) = -4 7 - 3(0) = 7
  • Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
    1 - 1(1) = 0 4 - 1(-2) = 4 + 2 = 6 -3 - 1(1) = -4 6 - 1(0) = 6
  • Linha 4: Subtraímos 1 vez a Linha 1 da Linha 4:
    1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 7 & -4 & | & 7 0 & 6 & -4 & | & 6
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 0 - 0 = 0 7 - 7(1) = 0 -4 - 7(0) = -4 7 - 7(1) = 0 das Linhas 3 e 4 usando a Linha 2:
  • Linha 3: Subtraímos 7 vezes a Linha 2 da Linha 3:
    0 - 0 = 0 6 - 6(1) = 0 -4 - 6(0) = -4 6 - 6(1) = 0
  • Linha 4: Subtraímos 6 vezes a Linha 2 da Linha 4:
    1 & -2 & 1 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & -4 & | & 0 0 & 0 & -4 & | & 0
A matriz agora fica:

Passo 5

Observamos que as Linhas 3 e 4 são iguais, o que indica que não há inconsistência no sistema. Agora, vamos resolver para -4z = 0 Rightarrow z = 0 :

Passo 6

Com y = 1 , substituímos na Linha 2 para encontrar x - 2(1) + 0 = 0 Rightarrow x = 2 :
Finalmente, substituímos e na Linha 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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