Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a diferença de suas distâncias aos pontos P1(-6,-4) e P2(2,-4) é igual a 6 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de tal forma que a diferença das suas distâncias aos pontos e é igual a 6. Isso está relacionado ao estudo de loci geométricos, especificamente com hiperboles. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de distância entre pontos e das propriedades das hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e |d1 - d2| = 6 é dada pela fórmula:
No nosso caso, o ponto móvel tem distâncias e aos pontos e , respectivamente. A condição do problema é que a diferença dessas distâncias seja 6:

Passo 3

Vamos expressar d1 = raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 e d2 = raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 usando a fórmula da distância:
raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 - raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 6
Substituindo na condição:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Vamos isolar uma das raízes:
raiz(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 6
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = ( raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 6 )^2

Passo 5

Expandindo o lado direito:
(x + 6)^2 + (y + 4)^2 = (x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36
Percebemos que (x + 6)^2 = (x - 2)^2 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36 se cancela dos dois lados:

Passo 6

Vamos expandir x^2 + 12x + 36 = x^2 - 4x + 4 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 + 36 e 12x + 36 = -4x + 40 + 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 :
16x - 4 = 12 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2
Simplificando:
4x - 1 = 3 raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2
Levando todos os termos sem a raiz para um lado:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 7

Isolamos a raiz novamente e elevamos ao quadrado:
raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 4x - 13
Elevando ao quadrado:
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = ( 4x - 13 )^2
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar a fração:
9(x - 2)^2 + 9(y + 4)^2 = (4x - 1)^2

Passo 8

Vamos expandir todos os termos:
9(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 8y + 16) = 16x^2 - 8x + 1
Distribuindo:
9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 + 72y + 144 = 16x^2 - 8x + 1
Agrupando termos semelhantes:
9x^2 + 9y^2 - 36x + 72y + 180 = 16x^2 - 8x + 1
Movendo todos os termos para o lado esquerdo:
-7x^2 + 9y^2 - 28x + 72y + 179 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
7x^2 - 9y^2 + 28x - 72y - 179 = 0

Passo 9

A equação final representa uma hipérbole. Podemos rearranjá-la para a forma padrão, mas para fins de determinação do lugar geométrico, essa forma já é suficiente para identificar que o conjunto de pontos que satisfazem a condição dada forma uma hipérbole.

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
7x^2 - 9y^2 + 28x - 72y - 179 = 0

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