Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo que a diferença de suas distâncias aos pontos
e
é igual a 6 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de tal forma que a diferença das suas distâncias aos pontos
e
é igual a 6. Isso está relacionado ao estudo de loci geométricos, especificamente com hiperboles. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de distância entre pontos e das propriedades das hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
No nosso caso, o ponto móvel
tem distâncias
e
aos pontos
e
, respectivamente. A condição do problema é que a diferença dessas distâncias seja 6:
Passo 3
Vamos expressar
e
usando a fórmula da distância:
Substituindo na condição:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Vamos isolar uma das raízes:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Expandindo o lado direito:
Percebemos que
se cancela dos dois lados:
Passo 6
Vamos expandir
e
:
Simplificando:
Levando todos os termos sem a raiz para um lado:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 7
Isolamos a raiz novamente e elevamos ao quadrado:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar a fração:
Passo 8
Vamos expandir todos os termos:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Movendo todos os termos para o lado esquerdo:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 9
A equação final representa uma hipérbole. Podemos rearranjá-la para a forma padrão, mas para fins de determinação do lugar geométrico, essa forma já é suficiente para identificar que o conjunto de pontos que satisfazem a condição dada forma uma hipérbole.
Resposta
A equação do lugar geométrico é: