Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
c) focos F1(2,13) e F2(2,-13) e comprimento do eixo não transverso igual a 24 ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando os elementos que foram dados: os focos e , e o comprimento do eixo não transverso que é igual a 24. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos têm as coordenadas h = 2 + 22 = 2 k = 13 + (-13)2 = 0 e , o centro pode ser calculado pela média das coordenadas:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre o centro e cada foco, que é representada por . Como a distância entre os focos ao longo do eixo y é de , então .

Passo 4

O comprimento do eixo não transverso é dado como 24, o que significa que b = 242 = 12 . Assim, podemos encontrar :

Passo 5

Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , 13^2 = a^2 + 12^2 169 = a^2 + 144 a^2 = 169 - 144 a^2 = 25 a = 5 e é:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Com (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 e (y - 0)^25^2 - (x - 2)^212^2 = 1 , e sabendo que o eixo transverso é vertical (pois os focos estão alinhados no eixo y), a equação padrão da hipérbole é:
Substituindo os valores de , , e :

Resposta

y^225 - (x - 2)^2144 = 1

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