Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
c) focos
e
e comprimento do eixo não transverso igual a 24 ;
c) focos
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando os elementos que foram dados: os focos
e
, e o comprimento do eixo não transverso que é igual a 24. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos têm as coordenadas
e
, o centro
pode ser calculado pela média das coordenadas:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre o centro e cada foco, que é representada por
. Como a distância entre os focos ao longo do eixo y é de
, então
.
Passo 4
O comprimento do eixo não transverso é dado como 24, o que significa que
. Assim, podemos encontrar
:
Passo 5
Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 6
Com
e
, e sabendo que o eixo transverso é vertical (pois os focos estão alinhados no eixo y), a equação padrão da hipérbole é:
Substituindo os valores de
,
,
e
: