a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que u times(v times w)=0

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para a gente analisar três vetores e fazer algumas demonstrações usando produto escalar e produto vetorial. Basicamente, vamos mostrar que:
a) Os vetores são ortogonais dois a dois usando o produto escalar.
b) O produto vetorial de quaisquer dois desses vetores é paralelo ao terceiro vetor.
c) A expressão u times (v times w) resulta no vetor nulo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar, produto vetorial, e o que significa vetores serem ortogonais ou paralelos.

Passo 2

Parte a: Mostrando que os vetores são ortogonais dois a dois usando o produto escalar.
Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre eles. Se a cdot b = 0, isso implica que cos(theta) = 0, ou seja, theta = 90^circ, então os vetores são ortogonais.

Passo 3

Então, para cada par de vetores (por exemplo, u e v), calculamos o produto escalar. Se for zero, estão ortogonais. Vamos aplicar isso para todos os pares:
  1. u cdot v = 0
  2. u cdot w = 0
  3. v cdot w = 0
Assim, mostramos que todos os pares são ortogonais.

Passo 4

Parte b: Mostrando que o produto vetorial de quaisquer dois vetores é paralelo ao terceiro vetor.
O produto vetorial de dois vetores a times b resulta em um vetor que é perpendicular a ambos a e b. Se esse produto vetorial está paralelo ao terceiro vetor, digamos c, isso significa que c também é perpendicular a a e b.
Como já mostramos na parte a que todos os vetores são ortogonais dois a dois, o vetor resultante do produto vetorial será necessariamente paralelo ao terceiro vetor.

Passo 5

Parte c: Mostrando que u times (v times w) = 0.
Vamos usar a identidade do vetor triplo:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Aplicando isso à nossa expressão:
u times (v times w) = v (u cdot w) - w (u cdot v)
Mas, como vimos na parte a, u cdot w = 0 e u cdot v = 0. Então:
u times (v times w) = v cdot 0 - w cdot 0 = 0

Resposta

Mostramos que os vetores são ortogonais dois a dois, que o produto vetorial de quaisquer dois é paralelo ao terceiro vetor, e que u times (v times w) = 0.

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