a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que
Passo 1
Beleza, temos um exercício que pede para a gente analisar três vetores e fazer algumas demonstrações usando produto escalar e produto vetorial. Basicamente, vamos mostrar que:
a) Os vetores são ortogonais dois a dois usando o produto escalar.
b) O produto vetorial de quaisquer dois desses vetores é paralelo ao terceiro vetor.
c) A expressão resulta no vetor nulo.
b) O produto vetorial de quaisquer dois desses vetores é paralelo ao terceiro vetor.
c) A expressão
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar, produto vetorial, e o que significa vetores serem ortogonais ou paralelos.
Passo 2
Parte a: Mostrando que os vetores são ortogonais dois a dois usando o produto escalar.
Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Onde
é o ângulo entre eles. Se
, isso implica que
, ou seja,
, então os vetores são ortogonais.
Passo 3
Então, para cada par de vetores (por exemplo,
e
), calculamos o produto escalar. Se for zero, estão ortogonais. Vamos aplicar isso para todos os pares:
Assim, mostramos que todos os pares são ortogonais.
Passo 4
Parte b: Mostrando que o produto vetorial de quaisquer dois vetores é paralelo ao terceiro vetor.
O produto vetorial de dois vetores
resulta em um vetor que é perpendicular a ambos
e
. Se esse produto vetorial está paralelo ao terceiro vetor, digamos
, isso significa que
também é perpendicular a
e
.
Como já mostramos na parte a que todos os vetores são ortogonais dois a dois, o vetor resultante do produto vetorial será necessariamente paralelo ao terceiro vetor.
Passo 5
Parte c: Mostrando que
.
Vamos usar a identidade do vetor triplo:
Aplicando isso à nossa expressão:
Mas, como vimos na parte a,
e
. Então:
Resposta
Mostramos que os vetores são ortogonais dois a dois, que o produto vetorial de quaisquer dois é paralelo ao terceiro vetor, e que
.