Mostre que W não é subespaço de R^3 para os seguintes casos: W=(x, y, z) in R^3: x^2+y^3+z^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto não é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaços vetoriais, que são partes de um espaço vetorial que também são espaços vetoriais por si mesmos. Vamos precisar verificar algumas propriedades para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

Propriedade 1: Contém o vetor zero
Vamos ver se o vetor 0^2 + 0^3 + 0^2 = 0 <= 1 está em :
Como é verdadeiro, o vetor zero est�� em . Então, a primeira propriedade está ok.

Passo 4

Propriedade 2: Fechado sob adição
Agora, vamos verificar se u = (1, 0, 0) e v = (1, 0, 0) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (1+1, 0+0, 0+0) = (2, 0, 0) e somarmos, o resultado também estará em 2^2 + 0^3 + 0^2 = 4 <= 1 .
Vamos escolher dois vetores em :
Agora, somando esses vetores:
Vamos verificar se está em :
Mas não é verdadeiro. Então, a soma dos dois vetores está fora de . Isso significa que não é fechado sob adição.

Resposta

Como não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de .

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