Mostre que
não é subespaço de
para os seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto
não é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaços vetoriais, que são partes de um espaço vetorial que também são espaços vetoriais por si mesmos. Vamos precisar verificar algumas propriedades para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um subespaço:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
Propriedade 1: Contém o vetor zero
Vamos ver se o vetor
está em
:
Como
é verdadeiro, o vetor zero est�� em
. Então, a primeira propriedade está ok.
Passo 4
Propriedade 2: Fechado sob adição
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também estará em
.
Vamos escolher dois vetores em
:
Agora, somando esses vetores:
Vamos verificar se
está em
:
Mas
não é verdadeiro. Então, a soma dos dois vetores está fora de
. Isso significa que
não é fechado sob adição.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de
.