Sejam vetores L.I. de um espaço vetorial e suponha que é uma combinação linear desses vetores, digamos . Mostre que a representação de acima é única. Dê um exemplo em mostrando que se o conjunto de vetores for L.D. Então a representação não será única.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes em um espaço vetorial . Além disso, temos um vetor que é uma combinação linear desses vetores, ou seja:
A questão quer que a gente mostre que essa representação é única. Depois, também quer que a gente dê um exemplo em onde, se os vetores forem linearmente dependentes, a representação deixa de ser única.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero:
Isso é importante porque garante que não temos redundância nos vetores, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, vamos supor que temos duas representações diferentes para o vetor :
Queremos provar que para todo .
Passo 4
Igualando as duas expressões de :
Subtraindo uma expressão da outra:
Passo 5
Como os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero:
Ou seja, para todo . Isso mostra que a representação de é única.
Passo 6
Agora, vamos ao exemplo em onde os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos considerar os seguintes vetores:
Note que , então eles são linearmente dependentes.
Passo 7
Vamos tentar representar o vetor 1 1 0 de duas maneiras diferentes usando esses vetores:
Primeira representação:
u = 1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3
Segunda representação:
u = 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3
Passo 8
Claramente, temos duas combinações diferentes que resultam no mesmo vetor . Isso mostra que, quando os vetores são linearmente dependentes, a representação de um vetor como combinação linear deles não é única.
Resposta
Portanto, quando os vetores são linearmente independentes, a representação de como combinação linear é única. Contudo, se os vetores forem linearmente dependentes, como no exemplo em , a representação de não será única.