Sejam v1, v2, ldots, vn vetores L.I. de um espaço vetorial V e suponha que u é uma combinação linear desses vetores, digamos u=alpha1 v1+alpha2 v2+ldots+alphan vn. Mostre que a representação de u acima é única. Dê um exemplo em R^3 mostrando que se o conjunto de vetores for L.D. Então a representação não será única.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto de vetores u = alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn que são linearmente independentes em um espaço vetorial . Além disso, temos um vetor que é uma combinação linear desses vetores, ou seja:
A questão quer que a gente mostre que essa representação é única. Depois, também quer que a gente dê um exemplo em onde, se os vetores forem linearmente dependentes, a representação deixa de ser única.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero:
alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn = 0 implies alpha1 = alpha2 = ldots = alphan = 0
Isso é importante porque garante que não temos redundância nos vetores, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos duas representações diferentes para o vetor u = alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn :
u = beta1 v1 + beta2 v2 + ldots + betan vn
Queremos provar que para todo .

Passo 4

Igualando as duas expressões de alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn = beta1 v1 + beta2 v2 + ldots + betan vn :
(alpha1 - beta1) v1 + (alpha2 - beta2) v2 + ldots + (alphan - betan) vn = 0
Subtraindo uma expressão da outra:

Passo 5

Como os vetores alpha1 - beta1 = 0 alpha2 - beta2 = 0 vdots alphan - betan = 0 são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero:
Ou seja, para todo . Isso mostra que a representação de é única.

Passo 6

Agora, vamos ao exemplo em v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 1 1 0 onde os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos considerar os seguintes vetores:
Note que , então eles são linearmente dependentes.

Passo 7

Vamos tentar representar o vetor 1 1 0 de duas maneiras diferentes usando esses vetores:
Primeira representação:
u = 1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3
Segunda representação:
u = 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3

Passo 8

Claramente, temos duas combinações diferentes que resultam no mesmo vetor . Isso mostra que, quando os vetores são linearmente dependentes, a representação de um vetor como combinação linear deles não é única.

Resposta

Portanto, quando os vetores são linearmente independentes, a representação de como combinação linear é única. Contudo, se os vetores forem linearmente dependentes, como no exemplo em , a representação de não será única.

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