Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x - 1.
a. y'' - x y' - y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e a gente precisa encontrar a solução dela usando uma série de potências de .
O que a gente precisa:
  • Entender séries de potências.
  • Saber derivar séries.
  • Substituir na equação diferencial e igualar os coeficientes para achar os termos da série.
  • Aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente . Fazendo as substituições de índice:
Para a segunda derivada:
Para o termo com , lembrando que :
Que podemos reescrever como:
E para :

Passo 6

Agora, juntando tudo na equação:
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de a zero.

Passo 7

Isso nos dá a seguinte recorrência para os coeficientes :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :

Passo 9

Com e , vamos calcular os próximos coeficientes usando a recorrência:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Vamos escrever a série com os coeficientes encontrados:
Substituindo:

Resposta

A solução do problema de valor inicial dado é a série de potências:

Exercícios relacionados

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações y = x^2, e y = x^3 * (2 pi / 35)
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
o. (x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, x0 = 1
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y 1 - x^2, x = -2, x = 2 e y = 2 * (412 * pi / 15)
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x.
b. (2 + x^2) y'' - x y' + 4 y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 3