Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e a gente precisa encontrar a solução dela usando uma série de potências de
.
O que a gente precisa:
- Entender séries de potências.
- Saber derivar séries.
- Substituir na equação diferencial e igualar os coeficientes para achar os termos da série.
- Aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente
. Fazendo as substituições de índice:
Para a segunda derivada:
Para o termo com
, lembrando que
:
Que podemos reescrever como:
E para
:
Passo 6
Agora, juntando tudo na equação:
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero.
Passo 7
Isso nos dá a seguinte recorrência para os coeficientes
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
Passo 9
Com
e
, vamos calcular os próximos coeficientes usando a recorrência:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Vamos escrever a série com os coeficientes encontrados:
Substituindo:
Resposta
A solução do problema de valor inicial dado é a série de potências:
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Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
o.
o.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
e
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
b.
b.