Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações y = x^2, e y = x^3 * (2 pi / 35)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido de revolução que é formado ao girar, em torno do eixo dos , a região delimitada pelas curvas das equações e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.

Passo 2

Para encontrar o volume do sólido de revolução, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Igualando as duas equações:
Podemos dividir ambos os lados por (considerando ):
Resolvendo para :
Além disso, temos a interseção em . Portanto, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo considerado. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de a .

Passo 4

Para calcular o volume do sólido de revolução, utilizamos a fórmula do disco:
Onde:
  • (função superior)
  • (função inferior)
  • e (limites de integração)

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
o. (x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, x0 = 1
(b) Use seu SCA para calcular o comprimento aproximado dessa curva.
x = 11 cos(t) - 4 cos(11 t / 2) y = 11 sen(t) - 4 sen(11 t / 2)
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de x - 1.
a. y'' - x y' - y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y 1 - x^2, x = -2, x = 2 e y = 2 * (412 * pi / 15)