Verifique se f(t) = (e^(-t), atan(t), t^5) é contínua em t = infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função vetorial é contínua quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de continuidade e limites para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos saber se a função é contínua em , ou seja, quando fica muito grande.

Passo 3

Como é uma função vetorial, ela é composta por componentes individuais. Para que a função inteira seja contínua em , cada uma das suas componentes precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos analisar cada componente separadamente:

Passo 4

Vamos começar com a primeira componente: .
Sabemos que a função exponencial tende a zero quando tende ao infinito, pois o expoente negativo faz com que o valor diminua cada vez mais. Matemáticamente, temos:

Passo 5

Agora, a segunda componente: .
A função arco-tangente, , tem um limite conhecido quando tende ao infinito. Especificamente, ela se aproxima de . Portanto:

Passo 6

Por último, a terceira componente: .
Aqui, temos uma função polinomial de grau 5. À medida que cresce sem limites, também cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito:

Passo 7

Agora, vamos reunir os resultados das três componentes. Temos que:
Para que a função vetorial seja contínua em , todas as componentes deveriam ter limites finitos. No entanto, vemos que a terceira componente tende ao infinito.

Resposta

A função não é contínua em porque a terceira componente cresce sem limites.

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