Verifique se
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função vetorial
é contínua quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de continuidade e limites para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos saber se a função
é contínua em
, ou seja, quando
fica muito grande.
Passo 3
Como
é uma função vetorial, ela é composta por componentes individuais. Para que a função inteira seja contínua em
, cada uma das suas componentes precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos analisar cada componente separadamente:
Passo 4
Vamos começar com a primeira componente:
.
Sabemos que a função exponencial
tende a zero quando
tende ao infinito, pois o expoente negativo faz com que o valor diminua cada vez mais. Matemáticamente, temos:
Passo 5
Agora, a segunda componente:
.
A função arco-tangente,
, tem um limite conhecido quando
tende ao infinito. Especificamente, ela se aproxima de
. Portanto:
Passo 6
Por último, a terceira componente:
.
Aqui, temos uma função polinomial de grau 5. À medida que
cresce sem limites,
também cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito:
Passo 7
Agora, vamos reunir os resultados das três componentes. Temos que:
Para que a função vetorial seja contínua em
, todas as componentes deveriam ter limites finitos. No entanto, vemos que a terceira componente tende ao infinito.
Resposta
A função
não é contínua em
porque a terceira componente cresce sem limites.