Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
a. y' - 2xy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado por uma equação diferencial usando uma série de potência em . O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com séries de potência, derivadas e igualar os coeficientes de potências de para encontrar os coeficientes da série que representam a solução.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser representada por uma série de potência em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo para obter :
Podemos reescrever isso como:
(Alteramos o índice da soma para facilitar a comparação de potências.)

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Vamos simplificar o termo com :

Passo 5

Agora, reescrevemos a equação com as séries alinhadas:
Para igualar os coeficientes de cada potência de a zero, observamos o termo para e os demais .

Passo 6

Para :
Para :

Passo 7

Agora, usando a condição inicial , temos:
Então, e . Vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Para :
Continuando esse processo, veremos que apenas os coeficientes de ordem par são diferentes de zero.

Passo 8

Observamos que a solução possui apenas termos de ordem par. Portanto, a série pode ser escrita como:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é a série de potência:

Exercícios relacionados