Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
a.
a.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado por uma equação diferencial usando uma série de potência em
. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com séries de potência, derivadas e igualar os coeficientes de potências de
para encontrar os coeficientes da série que representam a solução.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser representada por uma série de potência em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos derivar
termo a termo para obter
:
Podemos reescrever isso como:
(Alteramos o índice da soma para facilitar a comparação de potências.)
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar o termo com
:
Passo 5
Agora, reescrevemos a equação com as séries alinhadas:
Para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, observamos o termo para
e os demais
.
Passo 6
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, usando a condição inicial
, temos:
Então,
e
. Vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
Para
:
Continuando esse processo, veremos que apenas os coeficientes de ordem par são diferentes de zero.
Passo 8
Observamos que a solução possui apenas termos de ordem par. Portanto, a série pode ser escrita como:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é a série de potência: