Em cada um dos seguintes itens, resolva a equação diferencial de primeira ordem dada como uma série de potências de x.
h. (2 x - 1) y' + 2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por uma série de potências de :
Vamos usar técnicas de séries de potências para encontrar a solução. Para isso, precisaremos expandir em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Simplificando o índice da soma:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Vamos distribuir na série de :

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de . Para o termo com , aumentamos o índice:
Mudando o índice na primeira soma:

Passo 6

Agora, combinamos as séries:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos:
Simplificando:
Cancelando (para ):

Passo 8

Essa relação de recorrência nos diz que cada coeficiente é o dobro de :
Isso significa que a série é uma progressão geométrica com razão 2.

Passo 9

Sabendo que , podemos expressar em função de :

Passo 10

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Reconhecemos essa série como uma série geométrica, que converge para:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(i) Em que instantes de tempo a partícula tem movimento formando um ângulo de 45^0 com o eixo x ?
Se (x + 1/x) = 3, então quanto vale x^3 + 1/x^3 ?
a) 27 .
b) 18 .
c) 9 .
d) 6 .
e) 12 .
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(a) Encontre a equação da trajetória.
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = |x|, y = 1