Em cada um dos seguintes itens, resolva a equação diferencial de primeira ordem dada como uma série de potências de
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por uma série de potências de
:
Vamos usar técnicas de séries de potências para encontrar a solução. Para isso, precisaremos expandir
em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Simplificando o índice da soma:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Vamos distribuir
na série de
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Para o termo com
, aumentamos o índice:
Mudando o índice na primeira soma:
Passo 6
Agora, combinamos as séries:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, temos:
Simplificando:
Cancelando
(para
):
Passo 8
Essa relação de recorrência nos diz que cada coeficiente
é o dobro de
:
Isso significa que a série é uma progressão geométrica com razão 2.
Passo 9
Sabendo que
, podemos expressar
em função de
:
Passo 10
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Reconhecemos essa série como uma série geométrica, que converge para:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.