Em cada um dos seguintes itens, resolva a equação diferencial de primeira ordem dada como uma série de potências de x.
h. (2 x - 1) y' + 2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por uma série de potências de :
Vamos usar técnicas de séries de potências para encontrar a solução. Para isso, precisaremos expandir em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Simplificando o índice da soma:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Vamos distribuir na série de :

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de . Para o termo com , aumentamos o índice:
Mudando o índice na primeira soma:

Passo 6

Agora, combinamos as séries:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos:
Simplificando:
Cancelando (para ):

Passo 8

Essa relação de recorrência nos diz que cada coeficiente é o dobro de :
Isso significa que a série é uma progressão geométrica com razão 2.

Passo 9

Sabendo que , podemos expressar em função de :

Passo 10

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Reconhecemos essa série como uma série geométrica, que converge para:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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