Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta de girar, em torno do eixo x, a região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva
é uma V que se abre para cima, e a reta
é uma linha horizontal. Onde elas se encontram? Vamos resolver
. Isso dá
e
. Então, nossa região está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a gente corta a região em fatias verticais (paralelas ao eixo y) e gira cada fatia em torno do eixo x. Cada fatia vira uma casca cilíndrica, e a gente vai somar o volume de todas essas cascas usando uma integral.
Passo 4
Vamos identificar as variáveis. A altura de cada casca é a diferença entre
e
, ou seja,
. O raio da casca é a distância do eixo x até a casca, que é simplesmente
. A espessura da casca é um pequeno incremento em y,
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar tudo em termos de y, já que estamos integrando em relação a y. Da equação
, temos que
. Então, a largura da casca (em x) de um lado é
e do outro é
, totalizando
.
Passo 6
A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Substituindo o que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o volume total:
Passo 8
Vamos simplificar a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido obtido é
.
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.
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e
.