Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = |x|, y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta de girar, em torno do eixo x, a região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma V que se abre para cima, e a reta é uma linha horizontal. Onde elas se encontram? Vamos resolver . Isso dá e . Então, nossa região está entre e , e entre e .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a gente corta a região em fatias verticais (paralelas ao eixo y) e gira cada fatia em torno do eixo x. Cada fatia vira uma casca cilíndrica, e a gente vai somar o volume de todas essas cascas usando uma integral.

Passo 4

Vamos identificar as variáveis. A altura de cada casca é a diferença entre e , ou seja, . O raio da casca é a distância do eixo x até a casca, que é simplesmente . A espessura da casca é um pequeno incremento em y, .

Passo 5

Agora, precisamos expressar tudo em termos de y, já que estamos integrando em relação a y. Da equação , temos que . Então, a largura da casca (em x) de um lado é e do outro é , totalizando .

Passo 6

A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Substituindo o que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o volume total:

Passo 8

Vamos simplificar a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido obtido é .

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