Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(d) O conjunto das funções reais crescentes.
(d) O conjunto das funções reais crescentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial real, considerando que a adição e a multiplicação são as operações usuais. Aqui, o conjunto em questão é o das funções reais crescentes. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e ver se esse conjunto cumpre todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais precisa satisfazer oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
Vamos começar verificando se o conjunto das funções reais crescentes é fechado sob adição. Ou seja, se você pegar duas funções crescentes e somá-las, o resultado ainda será uma função crescente?
Passo 4
Considere duas funções crescentes
e
. Isso significa que, para todo
, temos
e
.
Passo 5
Agora, vejamos a soma
. Para
:
Passo 6
Isso mostra que
também é uma função crescente. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 7
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma função crescente por um escalar real, o resultado ainda será crescente?
Passo 8
Considere um escalar
e uma função crescente
. A função multiplicada é
.
Passo 9
Se
, então para
:
Logo,
é crescente.
Passo 10
No entanto, se
, então:
Isso significa que
é decrescente, o que não pertence ao conjunto das funções crescentes.
Passo 11
Além disso, se
, a função resultante é constante, o que é considerado não crescentes, a menos que seja trivialmente constante.
Passo 12
Como nem todas as multiplicações por escalares preservam a propriedade de ser crescente, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto das funções reais crescentes não é um espaço vetorial real, pois não é fechado sob multiplicação por escalar.