Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(d) O conjunto das funções reais crescentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial real, considerando que a adição e a multiplicação são as operações usuais. Aqui, o conjunto em questão é o das funções reais crescentes. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um espaço vetorial e ver se esse conjunto cumpre todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais precisa satisfazer oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

Vamos começar verificando se o conjunto das funções reais crescentes é fechado sob adição. Ou seja, se você pegar duas funções crescentes e somá-las, o resultado ainda será uma função crescente?

Passo 4

Considere duas funções crescentes e . Isso significa que, para todo , temos e .

Passo 5

Agora, vejamos a soma (f + g)(x2) - (f + g)(x1) = [f(x2) - f(x1)] + [g(x2) - g(x1)] >= 0 + 0 = 0 . Para :

Passo 6

Isso mostra que também é uma função crescente. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 7

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma função crescente por um escalar real, o resultado ainda será crescente?

Passo 8

Considere um escalar e uma função crescente . A função multiplicada é .

Passo 9

Se (alpha f)(x2) - (alpha f)(x1) = alpha [f(x2) - f(x1)] >= 0 , então para :
Logo, é crescente.

Passo 10

No entanto, se (alpha f)(x2) - (alpha f)(x1) = alpha [f(x2) - f(x1)] <= 0 , então:
Isso significa que é decrescente, o que não pertence ao conjunto das funções crescentes.

Passo 11

Além disso, se , a função resultante é constante, o que é considerado não crescentes, a menos que seja trivialmente constante.

Passo 12

Como nem todas as multiplicações por escalares preservam a propriedade de ser crescente, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto das funções reais crescentes não é um espaço vetorial real, pois não é fechado sob multiplicação por escalar.

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